Բազմանկյուն, ուռուցիկ բազմանկյուն (դաս 1)

Դիտարկենք մի պատկեր, որը կազմված է AB, BC, CD,…, EF, FA հատվածներից այնպես, որ կից հատվածները, այսինքն՝ AB և BC, BC և CD,…, FA և AB հատվածները, չեն գտնվում մի ուղղի վրա, իսկ ոչ կից հատվածները ընդհանուր կետ չունեն: Այսպիսի պատկերը կոչվում է բազմանկյուն:

A, B, C, D, …, E, F կետերը կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ AB, BC, CD,… EF հատվածները՝ կողմեր: Բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է բազմանկյան պարագիծ:

n գագաթ ունեցող բազմանկյունն անվանում են n-անկյուն: Այն ունի n կողմ: Բազմանկյան օրինակ է եռանկյունը:

Իսկ այս պատկերը բազմանկյուն չէ, քանի որ C₁C₅և C₂C₃(ինչպես նաև C₃C₄ և C₁C₅) ոչ կից հատվածներն ունեն ընդհանուր կետ:

Բազմանկյան մի կողմին պատկանող երկու գագաթները կոչվում են հարևան գագաթներ: Երկու ոչ հարևան գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

Յուրաքանչյուր բազմանկյուն հարթությունը տրոհում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ մյուսը՝ արտաքին տիրույթ:

Սահամնում Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող ուղղի մի կողմում:

Թեորեմ Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը (n-2)180⁰ է:

Ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են, կոչվում է կանոնավոր բազմանկյուն:

Կանոնավոր բազմանկյան օրինակ է հավասարակողմ եռանկյունը:

Առաջադրանքներ

1) Գծագրեք ուռուցիկ հնգանկյուն և վեցանկյուն: Բազմանկյուններից յուրաքանչյուրում որևէ գագաթից տարեք բոլոր անկյունագծերը: Տարված անկյունագծերով քանի՞ եռանկյան է տրոհվում բազմանկյուններից յուրաքանչյուրը:

2) Գտեք անկյունների գումարը.

ա) ուռուցիկ հնգանկյան,

բ) ուռուցիկ վեցանկյան,

գ) ուռուցիկ տասնակյան:

3) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք իրար հավասար են:

4) Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 540⁰է:

Առաջադրանքներ(լրացուցիչ)

5) Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, որի յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է՝

ա) 90⁰,

բ) 60⁰:

6) Տրված է հավասար անկյուններով հնգանկյուն: Գտեք այդ անկյունները:

7) Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, որի յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է՝

ա) 120⁰,

բ) 108⁰:

8) Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6 թվերին:

9) Ապացուցել, որ ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը (n-2)180⁰ է:

Քառանկյուն (դաս 2)

Տեսադաս

Յուրաքնաչյուր քառանկյուն ունի չորս գագաթ, չորս անկյուն, չորս կողմ և երկու անկյունագիծ:

Քառանկյան երկու ոչ կից կողմերը կոչվում են հանդիպակաց: Հանդիպակաց են կոչվում նաև քառանկյան երկու ոչ հարևան գագաթները (նմանապես անկյունները):

Քառանկյունները լինում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ:

Ուռուցիկ քառանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյան: Ոչ ուռոցիկ քառանկյան անկյունագծերից մեկը ևս քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյան:

Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը 360⁰ է:

Առաջադրանքներ

1) Գծել ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ:

2) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 40⁰-ով:

3) Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8 սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3 մմ-ով, 4 մմ-ով և 5 մմ-ով:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսից մեծ է համապատասխանաբար 10⁰-ով, 20⁰-ով և 30⁰-ով:

5) Գրեք ուռոցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 1, 2, 4, 5 թվերին:

6) Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 66սմ է, առաջին կողմը երկրորդից մեծ է 8 սմ-ով և նույնքանով փոքր է երրորդ կողմից, իսկ չորրորդը երեք անգամ մեծ է երկրորդից:

7) Ապացուցեք, որ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360⁰:

Զուգահեռագիծ (դաս 3)

Սահամանում: Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է:

Հատկություններ

1) Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են, և հանդիպակաց անկյունները հավասար են:

2) Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են:

Առաջադրանքներ

1) Զուգահեռագծի պարագիծը 48 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե՝

ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ-ով,

բ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

2) Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40⁰է, գտեք մյուս անկյունները:

3) Զուգահեռագծի անկյունագիծը երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25⁰-իև 35⁰-ի անկյուններ: Գտեք զուգահեռագծի անկյունները:

4) Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100⁰է:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

5) ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 50 սմ է, <C=30⁰, իսկ CD ուղղին տարված BH ուղղահայացը 6,5 սմ: Գտեք զուգահեռագծիկողմերը:

6) Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե՝

ա) <A=84⁰

բ) <A-<B=55⁰,

գ) <A+<C=142⁰

դ) <A=2<B:

7) ABCD զուգահեռագծի A անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Գտեք այդ զուգահեռագծի պարագիծը, եթե BK=15 սմ, KC=9սմ:

8) MNPQ զուգահեռագծի մեջ տարված է MQ ուղղին ուղղահայաց՝ NH-ը, ընդ որում՝ H կետը գտնվում է MQ կողմի վրա: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը և անկյունները, եթե հայտնի է, որ MH=3 սմ, HQ=5սմ, <MNH=30⁰:

9) Ապացուցեք զուգահեռագծի հատկությունները:

Զուգահեռագծի հայտանիշները (դաս 4)

Դիտարկենք զուգահեռագծի երեք հայտանիշ:

Հայտանիշ 1. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Հայտանիշ 2. Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Հայտանիշ 3.Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1) ABCD ուռուցիկ քառանկյան մեջ AB=CD, <B=70⁰, <BCA=60⁰, <ACD=50⁰: Ապացուցեք, որ BC=AD:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

11) ABCD քառանկյան AB, BC, CD և DA կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար M, N, P և Q կետերն այնպես, որ AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA: Ապացուցեք, որ ABCD-ն և MNPQ-ն զուգահեռագիծ են:

12) ABCD զուգահեռագծի BD անկյունագծի վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ BP=QD: Ապացուցեք, որ APCQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Զուգահեռագիծ: Ամփոփում (դաս 5)

Առաջադրանքներ

Եռանկյան միջին գիծը (դաս 6)

Եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ:

Թեորեմ Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար այդ կողմի կեսին:

Ապացույցն ինքնուրույն, որպես հետազոտական աշխատանք:

Առաջադրանքներ

1) Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծեր են:

2) Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

3) Նկարում EF||AC: Գտնել P_BEF և P_ABC:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4) Նկարում MN || AC: Գտնել P_MBNև P_ABC:

5) Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:

6) Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:

7) Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթները հավասարահեռ են նրա որևէ միջին գիծն ընդգրկող ուղղից:

Թալեսի թեորեմը (դաս 7)

Թեորեմ (Թալես) Եթե երկու ուղիղներից մեկի վրա հաջորդաբար տեղադրվեն մի քանի հավասար հատվածներ և նրանց ծայրակետերով տարվեն զուգահեռ ուղիղներ, որոնք հատեն երկրորդ ուղիղը, ապա երկրորդ ուղղի վրա անջատվում են միմյանց հավասար հատվածներ:

Առաջին դեպք, երբ ուղիղները զուգահեռ են՝ l1|| l2

Երկրորդ դեպք, երբ ուղիղները զուգահեռ չեն՝

Առաջադրանքներ

1) ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա համապատասխանաբար նշված են M և N կետերն այնպես, որ MN || BC: Գտնել

ա) AN:AC և AN:NC, եթե AM:AB=3:7;

բ) NC-ն, եթե AM=3սմ, AB=9սմ և AN=2սմ;

գ) AN, եթե AM:AB=2:3 և AC=15սմ;

դ) AN, եթե AM=2սմ, NC=8սմ և AN=MB:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

2) Գրի՛ր տեղեկություններ Թալեսի և Թալեսի թեորեմի մասին:

3) ΔABC եռանկյան AB, BC և AC կողմերի վրա համապատասխանաբար վերցված L, M և N կետերն այնպես, որ LM || AC, MN || AB: Գտնել ALMN զուգահեռագծի կողմերը, եթե նրա պարագիծը18սմ, AC = 8սմ, АВ = 12սմ:

4) Ապացուցի՛ր Թալեսի թեորեմը:

Սեղան (դաս 8)

Սահմանում Սեղան կոչվում է այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն:

Զուգահեռ կողմերը կոչվում են սեղանի հիմքեր, իսկ երկու մյուս կողմերը՝ սրունքներ:

Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա սրունքները հավասար են:

Սեղանը, որի որևէ անկյունն ուղիղ է, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան:

Սեղանի սրունքների միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է սեղանի միջին գիծ:

Թեորեմ Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին:

Առաջադրանքներ

1) Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե <A=36⁰, <C=117⁰:

2) Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60⁰: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:

3) Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40⁰ է:

4) Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

5) Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

6) M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից:

7) Հավասարասրուն սեղանի հիմքը հավասար է բարձրությանը և երկու անգամ փոքր միջին գծից։ Գտեք սեղանի անկյունները։

8) Ուղղանկյուն սեղանի մեջ սուր անկյունը 45⁰ է: Փոքր սրունքը և փոքր հիմքը 10-ական սմ են: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը:

9) Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերն են a և b, անկյուններից մեկը՝ α : Գտեք՝

ա) սեղանի մեծ սրունքը, եթե a=4սմ, b=7սմ, α=60⁰,

բ) սեղանի փոքր սրունքը, եթե a=10սմ, b=15սմ, α=45⁰։

Հավելյալ խնդիրներ

11) Սեղանի սրունքներից մեկը բաժանված է երեք հավասար հատվածների: Այդ բաժանման կետերից տարված են մյուս սրունքին միացնող հատվածներ, որոնք զուգահեռ են սեղանի հիմքերին: Գտեք այդ հատվածների երկարությունները, եթե սեղանի հիմքերը հավասար են 2 սմ և 5 սմ:

12) Տրված ուղղի տարբեր կողմերում տրված են M և N կետերը, որոնց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 6սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը տրված ուղղից:

ՈՒղղանկյուն, շեղանկյուն, քառակուսի (դաս 9)

Սահամանում: Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյուններն ուղիղ են:

Սահամնումից հետևում է, որ ուղղանկյունն օժտված է զուգահեռագծի բոլոր հատկություններով:

Ուսումնասիրենք ուղղանկյան առանձնահատկությունները:

Թեորեմ: Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են:

AC=BD

Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը:

Ուղղանկյան հայտանիշ: Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդ զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է:

Սահմանում։ Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:
Առանձնացրեք շեղանկյան առանձնահատկությունները:

Հատկություն: Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և կիսում են շեղանկյան անկյունները:

Քառակուսի

Տեսական նյութ

Սահմանում: Քառակուսի կոչվում է այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսին օժտված է ինչպես ուղղանկյան, այնպես էլ շեղանկյան հատկություններով:

Ձևակերպենք քառակուսու հիմնական հատկությունները.

ա) քառակուսու բոլոր անկյունները ուղիղ են,

բ) քառակուսու անկյուանգծերը հավասար են, փոխուղղահայաց են, հատման կետով կիսվում են և կիսում են քառակուսու անկյունները:

Առաջադրանքներ

1) ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում: <COD=60⁰, CD=10սմ: Գտեք ուղղանկյան անկյունագծերը:

2) Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե A անկյան կիսորդը տրոհում է՝

ա) BC կողմը 45,6սմ և 7,85սմ երկարությամբ հատվածների,

բ) DC կողմը 2,7դմ և 4,5դմ երկարությամբ հատվածների:

3) Շեղանկյան անկյունագծերից մեկը հավասար է կողմին: Գտեք՝

ա) շեղանկյան անկյունները,
բ) այն անկյունները, որոնք կազմում են շեղանկյան անկյունագծերը նրա կողմերի հետ:

4) ABCD շեղանկյան մեջ <B=120⁰: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: BC կողմը 10սմ է: Գտեք BD անկյուանգիծը:

5) Քառակուսու անկյունագծերի հատման կետից մինչև կողմերը եղած hեռավորությունների գումարը 20սմ է: Գտեք քառակուսու պարագիծը:

6) Քառակուսու պարագիծը 80սմ է: Որքա՞ն է քառակուսու անկյուանգծի միջնակետի հեռավորությունը նրա կողմից:

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

7)Ապացուցեք, որ այն զուգահեռագիծը, որի անկյուններից մեկը ուղիղ է, ուղղանկյուն է:

8)Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան բոլոր անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է:

9)Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծի բոլոր անկյունները հավասար են, ապա այն ուղղանկյուն է:

10)ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում, E-ն AB կողմի միջնակետն է, <BAC=50⁰: Գտեք <AOE-ն:

11) Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը:

12) Գտեք ABCD շեղանկյան պարագիծը, եթե <B=60⁰, AC=10,5սմ:

13) Գտեք այն անկյունները, որոնք կազմում են շեղանկյան անկյունագծերը նրա կողմի հետ, եթե հայտնի է, որ շեղանկյան անկյուններից մեկը 45⁰ է:

14) Շեղանկյան գագաթներից մեկով նրա հանդիպակաց անկյունը կազմող կողմերին տարված ուղղահայացները կազմում են 30⁰-ի անկյուն, ընդ որում՝ դրանցից յուրաքանչյուրի երկարությունը 5 սմ է: Գտեք շեղանկյան կողմը:

Հավելյալ խնդիրներ

15) Ապացուցեք, որ եթե շեղանկյան մի անկյունը ուղիղ է, ապա այդ շեղանկյունը քառակուսի է:

16) Քառակուսի՞ է արդյոք քառանկյունը, եթե նրա անկյունագծերը՝

ա) հավասար են և փոխուղղահայաց,

բ) փոխուղղահայաց են և ունեն ընդհանուր միջնակետ,

գ) հավասար են, փոխուղղահայաց են և ունեն ընդհանուր միջնակետ:

17) Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան կիսորդի և ներքնաձիգի հատման կետով տարված են էջերին զուգահեռ ուղիղներ: Ապացուցեք, որ առաջացած քառանկյունը քառակուսի է: